量子态不可克隆定理不成立的证明

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  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不处于 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可好友克隆定理”。本文证明你两种 定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的,证明那末 量子态可好友克隆的条件为,实际上认为量子态还可不还可以能好友克隆,“量子态不可好友克隆定理”名不符其实 。本文进一步证明,处于无穷多的满足你两种 一八个多条件,有本来“量子态不可好友克隆定理”应当改为“量子态可好友克隆定理”。2.表示一八个多正交的量子态还可不还可以能好友克隆,对于的非正交态的情况汇报,现有理论那末讨论,本文完正讨论你两种 情况汇报。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态还可不还可以能按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总还可不还可以能找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可好友克隆的条件。4. 量子好友克隆算符对波函数叠加态作用,会原因分析自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子好友克隆算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却还可不还可以能将纯态波函数变换成任意波函数,那末 的算符不有本来处于。5. 量子态好友克隆的真正现象不出于理论上有无完会还可不还可以好友克隆,而在于好友克隆过程中线性叠加态不可输入和不可输出,你两种 不有本来性与“量子态不可好友克隆定理”的证明无关。6. 絮状实验证明,微观粒子的单量子态还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的,说量子态不可好友克隆毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的还可不还可以能光子的单个偏振态,它们还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的。由此本文的结论是,“量子态不可好友克隆定理”是一八个多概念含糊、矛盾重重、完正错误的命题。建立在你两种 定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不处于。

  关键词 量子力学,量子通讯,好友克隆算符,量子态不可好友克隆定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可好友克隆定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可好友克隆定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出你两种 著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现处于有些现象。“量子态不可好友克隆定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不处于的。

  从“量子态不可好友克隆定理”的证明过程还可不还可以能看出,该定理的前提是假定任意量子态还可不还可以能好友克隆。有本来给出另外一八个絮状子态还可不还可以能好友克隆的条件为,不满足你两种 个多条件的态才是不可好友克隆的。代表一八个多态正交,表示一八个多态不正交,它们还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的。有本来“量子态不可好友克隆定理”名不符其实 !本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的好友克隆算符定义,对于任意量子态,处于无穷多的满足的条件。对于的情况汇报,现有理论认为它原因分析,是一八个多平庸解,那末讨论价值。本文指出不要 一定原因分析,并对你两种 情况汇报进行完正讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数还可不还可以能表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总还可不还可以能找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可好友克隆条件。有本来“量子态不可好友克隆定理”实际上应当改成“量子态不可好友克隆定理”。

  有些文献又把该定理称为“未知量子态不可好友克隆定理”,然而对哪几种是未知的量子态,却那末明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可好友克隆定理”的说法在字面上本来有现象的,有本来一八个絮状子态是未知的,别问我原型和模板,又为啥完会还可不还可以好友克隆呢?比如对于叠加态,有本来已知,你两种 态就已知。有本来任意,你两种 态就未知。要好友克隆你两种 态首先还可不还可以能知道。这是先决条件,未知态不可好友克隆的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对好友克隆算符的定义,即使未知,仍然还可不还可以能找到无穷多的,使之满足的条件,有本来“未知量子态不可好友克隆定理”的说法也是不成立的。

  将量子好友克隆算符对波函数叠加态作用,会原因分析自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子好友克隆算符的定义是自相矛盾的。将量子态好友克隆算符作用在任意波函数上,其形式不变。将你两种 算符作用在一八个多纯态上,却还可不还可以能将它变成任意波函数,那末 的算符是不处于的。事实上量子好友克隆算符本来一八个多抽象符号,那末具体形式。有本来其定义是自相矛盾的,在数学上根本不有本来找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都还可不还可以能有它的具体形式。

  事实上,量子态好友克隆的真正现象不出于理论上有无完会还可不还可以好友克隆,而在于好友克隆过程何如输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量原因分析波函数崩塌。量子态好友克隆过程首先还可不还可以能输入量子态,而输入过程不还可不还可以不还可不还可以看成两种测量操作。有本来量子叠加态是不可输入的,有本来一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在你两种 意义上,谈论线性叠加态的好友克隆是那末意义,但它与“量子态不可好友克隆定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可好友克隆定理”显然与事实不符。絮状实验证明,微观粒子的单量子态还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的。激光器不但完会还可不还可以好友克隆单个光子,有本来完会还可不还可以大批量地好友克隆各种光子。连续光谱激光器不但还可不还可以能好友克隆两种单光子,有本来还可不还可以能通过调整参数,来絮状好友克隆各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就有本来是一八个多相当成熟图片 图片 图片 是什么是什么的句子的句子的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的还可不还可以能光子的单个偏振态,而还可不还可以能所谓的线性叠加态,它们还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的。然而“量子态不可好友克隆定理”给人的一般印象却是,任何量子态还可不还可以能可好友克隆,这是不真实的。

  实际量子态的好友克隆涉及相互作用,是一八个多非常僵化 的过程,还可不还可以能用Wootters定义的你两种 简单算符就能表示的。“量子态不可好友克隆定理”是一八个多概念含糊、矛盾重重、完正错误的命题,不但毫无意义,有本来严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  有本来本文的结论是,“量子态不可好友克隆定理”不成立,量子通讯所谓的具有无条件保密性的物理学基础不处于。

  二.“量子态不可好友克隆定理”的证明

  “量子态不可好友克隆定理”的证明其实 非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待好友克隆模板的粒子处于任意态,另外一八个多粒子处于标准的纯态。Wootters和Zurek引入一八个多好友克隆量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式何如,Wootters那末说明,那末根据具体的情况汇报选着。与图片复印的过程比较,算符大慨复印机,大慨要复印的图片,大慨白纸。

  采用相同的纯态,将好友克隆算符对另外一八个多任意态作用,按照(1)式还可不还可以能:

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有一八个多解,。有本来你两种 个多条件满足,就还可不还可以能好友克隆。有本来不满足,就不可好友克隆。现有理论讨论了的情况汇报,对的情况汇报那末讨论,本文重点对的情况汇报进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态还可不还可以能好友克隆。即处于一八个多算符,还可不还可以能把纯态变成态,有本来讨论在哪几种情况汇报下还可不还可以能好友克隆的现象。原因分析正交态是还可不还可以能好友克隆的,用通俗的语言说,假设有一台量子好友克隆机,它完会还可不还可以好友克隆 态,就一定完会还可不还可以好友克隆与态正交的态,但那末好友克隆与不正交共同又有的态。

  有本来按照你两种 证明,量子态还可不还可以能那末好友克隆,本来有选着性地好友克隆。对于不同的量子态,还可不还可以能不同的好友克隆机,让我们歌词 歌词 还可不还可以能制造不同的好友克隆机,来好友克隆不同的量子态。有本来所谓的“量子态不可好友克隆定理”名不符其实 ,实际上应当改成“通用量子态好友克隆机不处于定理”。

  三.“量子态不可好友克隆定理”不成立的证明

  3. 1 量子态好友克隆算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,好友克隆算符对波函数的作用满足以下关系:

这原因分析不改变任意波函数,即,但却还可不还可以能将纯态波函数变成,即原因分析是不变算符,即。有本来也是任意的,与还可不还可以能完正不一样,原因分析还可不还可以能不变算符,应当将写为:

有本来,还可不还可以能,有本来量子好友克隆算符的定义自相矛盾,是不有本来处于的。

  让我们歌词 歌词 还可不还可以能举一八个多具体的例子。假设要好友克隆氢原子的第一激发态,一八个多合理的做法本来,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

有本来式正交的,按照(2)的定义,是还可不还可以能好友克隆的,好友克隆过程是:

显然不有本来找到一八个多算符,能使 共同成立,有本来(8)式不有本来成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较僵化 。要将一八个多纯态波函数变成另外一八个多波函数保持不变,又还可不还可以能将任意纯态波函数变成态波函数。在你两种 算符基础上证明“量子态不可好友克隆定理”是那末意义的。

  3. 2 量子态好友克隆算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也有本来不成立。举一八个多简单例子,氢原子的跃迁过程满足有些禁戒规则,比如角量子数和磁量子数还可不还可以能满足。有本来从基态到诸如的激发态是不有本来的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是还可不还可以能好友克隆的。

  事实上,量子态的好友克隆是一八个多非常僵化 的现象,根本不有本来通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的好友克隆算符的基础上的,所谓的“量子态不可好友克隆定理”毫无意义。

  3. 2 处于无穷多的可好友克隆非正交态

  以下证明对于,仍然还可不还可以能有。按照(4)式,你两种 非正交态仍然还可不还可以能好友克隆。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下一八个多基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有选着本征值的本征函数处于正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学还可不还可以能不还可不还可以严格证明,任意量子力学定态波函数还可不还可以能表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上一八个多性质,让我们歌词 歌词 来重新讨论“量子态不可好友克隆定理”的证明。将系统的任意一八个多波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

有本来,(13)式变成:

要使(14)式成立,还可不还可以能:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数有本来是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余一八个多方程,有一八个多未知数,唯一选着。解方程得。有本来对于的情况汇报,对于任意波函数,总还可不还可以能找到另外一八个多波函数与它正交。按照Wootters对好友克隆算符的定义,它们还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的。

  对于的情况汇报,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余一八个多方程,选着一八个多未知数,还可不还可以能无穷多种土土方式。也本来说对于,还可不还可以能有无穷多个与之正交,因而通用量子态好友克隆机处于。

  对于不正交,的情况汇报,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的一八个多方程解得,有本来那末才有本来。原因分析你两种 态还可不还可以能好友克隆,但一台好友克隆机那末好友克隆一八个絮状子态。

  对的情况汇报,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的一八个多方程,选着一八个多未知数,原则上有无穷多个解。有本来它们都完会还可不还可以满足(4)和(16)式,按照定义还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的。

  以下举一八个多具体例子,比如,从第一八个多式子得到。选着,按照(20)式,可得以下波函数:

你两种 个多波函数是非正交的,但仍然满足可好友克隆条件,还可不还可以能用同一台好友克隆机好友克隆。

  任意选着的值,还可不还可以能得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的情况汇报下,“量子态不可好友克隆定理”不成立。让我们歌词 歌词 总还可不还可以能找到无穷多的,使它们满足可好友克隆的条件。

  3. 3 好友克隆算符作用于线性叠加态原因分析矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是还可不还可以能好友克隆的。在(4)式的导出过程中,还可不还可以能是单态,不还可不还可以不还可不还可以是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将好友克隆算符作用其上,还可不还可以能得到两种结果。第两种是好友克隆算符先对单个态作用,即:

第二种好友克隆算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是还可不还可以能实现的,理由是基矢还可不还可以能好友克隆的。(24)式则是不可实现,但那末说明原因分析。

  你两种 看法其实 怪怪的道理,但那末找到现象的本质。有本来按照好友克隆算符的定义,以上两种计算土土方式还可不还可以能合理的。让我们歌词 歌词 那末说哪两种对哪两种错,从逻辑上不还可不还可以不还可不还可以认为(24)式那末错。事实上,(11)、(21)和(22)式还可不还可以能叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的。

  以下来讨论(24)式不有本来成立的原因分析。还可不还可以能将(24)式看成好友克隆算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,完会还可不还可以测量的是波函数的平方,还可不还可以能:

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是不有本来改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然处于。产生现象的本质原因分析在于,如前文所述,好友克隆算符的定义(1)式两种本来矛盾的。你两种 矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用本来一八个多例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的好友克隆现象,还可不还可以能先了解线性叠加态的真内部人员理意义。量子力科学学 一八个多统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由一八个多态组成,冒出的几率是态冒出的几率是。它不要 原因分析一八个多态还可不还可以能共同冒出,本来认为在任意时刻只冒出其中的一八个多态。

  比如对于氢原子中的一八个多电子,它不有本来共同即处于基态,又处于第一激发态。你两种 个多情况汇报处于能量差,从基态进入激发态是还可不还可以能不还可不还可以量输入的。让我们歌词 歌词 不有本来共同好友克隆氢原子的你两种 个多态,那末好友克隆其中的一八个多态。在你两种 意义上,谈论线性叠加态的好友克隆两种本来那末意义的。

  有本来按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的一八个多态。比如对于叠加态,任何单次测量那末得到其中的一八个多态,不有本来共同得到一八个多态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  有本来量子态好友克隆真正的现象在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的深层,为了完会还可不还可以好友克隆一八个絮状子叠加态,首先还可不还可以能进行测量,以了解你两种 态的情况汇报。好友克隆过程还可不还可以能输入和输出量子态,而输入和输出不还可不还可以不还可不还可以看成是两种测量。有本来测量原因分析叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是不有本来的。

  在实际的过程中,量子态的好友克隆涉及僵化 的相互作用,还可不还可以能用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可好友克隆定理”处于不要 的现象,实际上不成立。考虑到单个量子态实际还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以不还可不还可以用好友克隆的,让我们歌词 歌词 应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有选着本征值的单态还可不还可以能可好友克隆的。对量子定态波函数的叠加态,每一次好友克隆将得到其中的一八个多单态,多次好友克隆结果得到态的几率为

  那末那末 理解,不还可不还可以与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义好友克隆算符两种本来自相矛盾的。将好友克隆算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却还可不还可以能将变成任意。你两种 自相矛盾的算符在数学上是不有本来处于的,原因分析“量子态不可好友克隆定理”成为一八个多含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对好友克隆算符的定义,满足的量子态还可不还可以能不还可不还可以不还可不还可以好友克隆的。而在实际的过程中,满足你两种 个多条件的量子态却不要 完会还可不还可以好友克隆。有本来“量子态不可好友克隆定理”不处于。

  有本来考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总还可不还可以能找到一八个多波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了还可不还可以能找到无数的波函数与它正交外,还可不还可以能找到无数个波函数,使它们的积分满足。有本来“量子态不可好友克隆定理”实际上应当称为“量子态可好友克隆定理”。

  将好友克隆算符作用到量子叠加态,会原因分析矛盾的结果。这不要 原因分析叠加态不可好友克隆,本来好友克隆算符的定义两种有现象。量子态好友克隆的真正现象在于,叠加态的输入和输出是不有本来的,你两种 不有本来性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者看了中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释现象”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…让我们歌词 歌词 迄今为止并未形成共识。量子力学发展的你两种 二元情况汇报不仅带来认识论方面的误导,有本来土土方式备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的现象”,物理学家还可不还可以能“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,避免量子观念的滥用原因分析的认识论上的现象和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的你两种 看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是一八个多科学哲学现象,但现在它有本来还可不还可以能纯理论现象。它有本来越界进入技术领域,有本来深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处还可不还可以能看了哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有一八个多奇怪的说法,即一八个絮状子态在那末被测量完后 让我们歌词 歌词 对它哪几种本来能说。它是处于叠加态,而还可不还可以能选着态。波尔有句名言:一八个多现象在那末被观察完后 那末说是一八个多现象。具体地说,对于一八个多自旋为的粒子,在那末进行测量完后 ,那末说它的自旋为。有本来按照波函数的叠加公式,它或许有本来处于态。再比如对于一八个多水平偏振的光子,在那末被测量完后 ,让我们歌词 歌词 那末说它是水平偏振的,有本来按照波函数的线性叠加公式,它有本来是垂直偏振。你两种 看法与实际完正不符,它有本来破坏物理守恒规律,原因分析荒诞的结果。

  比如甲向乙发射一八个多自旋为粒子,乙方接受到的一定是一八个多自旋为的粒子。有本来角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是不有本来改变的。同样,甲向乙发射一八个多水平偏振的光子,有本来乙用水平偏振器测量,你两种 光子还可不还可以能通过,说明你两种 光子的偏振在运动过程中那末改变。原因分析是光的偏振方向本来电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向完会改变。有本来用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。原因分析是偏振器使光子的电场方向改变,而还可不还可以能该光子那末选着的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是絮状粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的一八个多系统。在任意时刻,量子体系要么处于态,要么处于情况汇报,不有本来即处于情况汇报又处于情况汇报,本来有本来共同处于态。有本来这两种解释是等价的,本来说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的好友克隆也是那末意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的还可不还可以能单量子态,不有本来是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,不有本来是叠加态。“量子态不可好友克隆定理”是一八个多完正不靠谱的理论,它把好友克隆过程用一八个多那末简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程完正不符。在真实的物理学中,要好友克隆一八个絮状子态涉及僵化 的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿倒入复印机,一按键盘就了事。在哪几种基本现象那末搞清楚完后 ,就声称量子态不可好友克隆。甚至明明知道单量子态和正交态还可不还可以能好友克隆,明明知道激光器本来光子好友克隆机,却仍然声称量子态不可好友克隆,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量完后 微观粒子还可不还可以能共同处于多重情况汇报,用测量原因分析波函数崩塌来解释一切。以你两种 完正错误的理论为基础,技术开发必然原因分析失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是一八个多典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯那末 重要的事情寄托在你两种 完正不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则有本来是另外一八个多例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的有本来。按照量子力学的统计系综解释,任何时能 刻一八个多微观粒子那末处于某个选着的情况汇报,不有本来处于叠加态,线性叠加本来两种统计平均的表示土土方式。按照量子力学的测量理论,任何时能 刻一八个多微观粒子还可不还可以能处于叠加态,但测量原因分析波函数崩塌。有本来叠加态既那末输入本来能输出,量子计算机就有本来是一八个多空头理论上的东西,在现实中难以实现。你两种 现象之类与量子计算机的消相干现象,但又有不同。从技术上说消相干是有本来的,但叠加态的输入和输出是不有本来的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称有本来做出量子计算机,有本来还可不还可以能真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。让我们歌词 歌词 有本来本来利用微观粒子的一八个多分立情况汇报做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它本来对传统电子计算机的模拟,而还可不还可以能真正利用了叠加态,完会还可不还可以进行叠加态并行计算的量子计算机。本来量子计算机专家有本来还那末认识到你两种 点,有本来说有些人知道你两种 点,但不你要 说出来罢了。关于你两种 现象,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,802-803.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,806年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释现象,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.